点积

编辑:结伴网互动百科 时间:2019-11-13 07:54:52
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同义词 数量积一般指点积
在数学中,数量积(dot product; scalar product,也称为点积)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量二元运算。它是欧几里得空间的标准内积
两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:
a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 矩阵,点积还可以写为:
a·b=a^T*b,这里的a^T指示矩阵a的转置
中文名
点积
外文名
dot product; scalar product
别    名
标量积、点积
运算类型
二元运算
点积的三个值
u、v、u,v夹角的余弦
点积的值
u,v的点积=|u||v|cos<u,v>

点积定义

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点积代数定义

设二维空间内有两个向量
,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:
更一般地,n维向量的内积定义如下:

点积几何定义

设二维空间内有两个向量
,它们的夹角为
,则内积定义为以下实数:
该定义只对二维和三维空间有效。

点积两种定义的等价性

以三维空间为例子
①几何定义推导代数定义
,根据向量坐标的意义可知
根据点乘的分配律得
所以
  
注意:点乘的分配律在空间内可通过几何证明,无需藉助向量关系,因此不属于循环推导。

  
②代数定义推导几何定义
,它们的终点分别为
,原点为O,
夹角为
。则
在△OAB中,由余弦定理得:
利用距离公式对这个等式稍作处理,得
去括号、合并得
注意:余弦定理和距离公式亦无需向量知识

点积点积的值

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u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。
点积 点积
两个单位向量的点积得到两个向量夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性,利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。
向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。

点积运算律

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交换律:
分配律:
结合律:
,其中m是实数。

点积应用

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平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明:
(1)勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,则|CA|²+|CB|²=|AB|²。
AB = CB-CA
AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA
又∵ ∠C=90°,有CA⊥CB,于是CA·CB=0
∴ AB²=AC²+BC²
(2)菱形对角线相互垂直:菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点,求证AC⊥BD。
设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a
AC=(AB+BC),BD=(BC+CD)
AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα
又∵ cosα=-cos(π-α)
AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0
∴AC⊥BD
在生产生活中,点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。物理中,点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量,则点积即为a在方向b的投影,即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断,如两矢量点积大于0,则它们的方向朝向相近;如果小于0,则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一,此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。
线性变换中点积的意义:
根据点积的代数公式:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn,假设a为给定权重向量,b为特征向量,则a·b其实为一种线性组合,函数F(a·b)则可以构建一个基于a·b+c = 0 (c为偏移)的某一超平面的线性分类器,F是个简单函数,会将超过一定阈值的值对应到第一类,其它的值对应到第二类。
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理学